no se si todavia te sirva pero pongo lo que podria ser la solucion por si alguien le sirve tienes algunos errores primero For p = 0 To 4
p = p - 1 para que ocupas esto si lo que quieres es guardar los 4 registros de una sola vez entonces tiene el for en el lado equivocado tendria que quedarte al inicio y poner que termine en 3 ya que los arreglos empiezan en 0 tendria que quedarte algo asi

Sub ingresar()
For p = 0 To 3
Console.WriteLine("Ingrese nombre:")
str_nombre(p) = Console.ReadLine
Console.WriteLine("Ingrese apellido:")
Console.ReadLine
Next
end sub

me imagino que este es le arreglo str_nombre(p) si quieres tener un arreglo para nombre y otro para apellido necesitas declarar otro y ponerlo en la segunda console.readline asi

Console.WriteLine("Ingrese nombre:")
str_nombre(p) = Console.ReadLine
Console.WriteLine("Ingrese apellido:")
str_apellido(p)=Console.ReadLine

con esto tendrias dos arreglos uno para el nombre(str_nombre) y otro para apellido (str_apellido)

si quieres mostrarlos todos los arreglos guardados entonces necesitas otro for y otra etiqueta o poner el for donde creas mas conveniente tendria que quedarte algo asi
For p = 0 To 3
Console.WriteLine(str_nombre(p))
Next

con esto mostrarias todos los registros guardados. bueno espero te ayude si necesitas algo mas no dudes en decirlo que para eso estamos hasta luego.